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Les Mathématiciens aiment bien se poser des problèmes... (up)

Les 23 problèmes de Hilbert

Enoncés par Hilbert au Congrès international de mathématiques de Paris en 1900, ils sont aujourd'hui pratiquement tous résolus (couleur verte) ou partiellement résolus (couleurs bleue). Pour plus de détails concernant ces problèmes, cliquer ici.

    1. a - Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor ?
      b - L'ensemble des nombres réels peut-il être bien ordonné ?
    2. Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ?
    3. La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ?
    4. Quelles sont les géométries dans lesquelles le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite
    5. A quelles conditions (minimales), un groupe topologique de transformations est-il un groupe de Lie ?
    6. Peut-on axiomatiser la physique ?
    7. Etude de l'irrationalité et de la transcendance de certains nombres, comme : si a désigne un nombre algébrique non nul et distinct de 1, et b un nombre algébrique non rationnel, ab est-il transcendant ?
    8. Prouver la conjecture de Riemann
    9. Nombre de solutions d'une congruence quadratique dans un anneau d'entiers d'un corps algébrique (réciprocité quadratique)
    10. Existe-t-il un algorithme universel pour la résolution des équations diophantiennes ?
    11. Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques
    12. Généralisation d'un théorème de Kronecker
    13. Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non superposables par des fonctions continues de deux variables (équivalent à la résolution d'une équation algébrique de degré 7 au moyen des fonction de deux variables) ?
    14. Etude d'un problème très pointu relatif à l'existence d'un système fini de générateurs d'une algèbre de fonctions rationnelles sur un corps abstrait
    15. Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de Schubert (géométrie algébrique, cohomologie) ?
    16. Développer une topologie des variétés algébriques réelles (courbes et surfaces).
    17. Une fonction rationnelle positive sur Rn peut-elle s'écrire comme somme de carrés de fonctions rationnelles ?
    18. Peut-on décomposer un espace euclidien de dimension fini comme réunion de pavés de sorte que chacun d'eux soit congruent (isométrique) à l'un des polyèdres d'une famille donnée ?
    19. Rechercher si les solutions d'un problème relevant du calcul des variations (système d'équations aux dérivées partielles) sont nécessairement analytiques
    20. Etudier la solution générale des problèmes de valeur limite (généralisation du problème de Dirichlet).
    21. Etudier l'existence d'une équation différentielle linéaire de Fuchs satisfaisant à des conditions (points singuliers) données
    22. Uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen de fonctions fuchsiennes
    23. Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations

 

A l'instar de David Hilbert, Landon Clay, mécène américain fondateur du Clay Mathematics Institute choisit, le 24 mai 2000, Paris et le Collège de France pour proposer de financer 7 prix d'un million de dollars chacun destinés à qui résoudrait l'un de 7 problèmes ouverts considérés comme fondamentaux à l'aube du 21ème siècle :

  1. La conjecture de Poincaré : peut-être résolue par Grisha Perelman
  2. L'hypothèse de Riemann : 8è problème, encore non résolu, de Hilbert
  3. La conjecture de Hodge, portant sur la cohomologie
  4. Le problème de Stephen Cook, P versus NP problem, portant sur la stratégie à adopter face à un problème complexe et opposant la recherche de la solution à la vérification d'une solution présumée
  5. Les équations de Navier-Stokes portant sur la mécanique des fluides et le bien fondé des solutions de ces équations
  6. La théorie de Yang et Mills portant sur le lien entre la physique quantique et les espaces fibrés
  7. La conjecture de Birch Swinnerton-Dyer portant sur les courbes elliptiques de genre 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Curiosités (en construction) (up)

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